Romuald Tumash - Algebra (PD): PD №3 - Ideały w pierścieniach

Ideał – w algebrze abstrakcyjnej, podzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przezDedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i, szczególnie, przez Emmę Noether.

DEFINICJA

Ideałem pierścienia przemiennego

R

nazywa się każdy podzbiór $I \sub R$ taki, że:

Zamiast pierwszego warunku wystarczy przyjąć, że zbiór

I

jest niepusty oraz, że spełniony jest warunek następujący:

jeśli $\alpha, \beta \in I$ , to $\alpha - \beta \in I.$

Niekiedy nie zakłada się przemienności pierścienia

R

. Wtedy powyższe warunki definiują ideał lewostronny pierścienia, natomiast jeśli zastąpimy drugi warunek następującym:

jeśli $\gamma \in R$ oraz $\alpha \in I$ , to $\alpha\cdot\gamma \in I$

to otrzymamy definicję ideału prawostronnego.

Jeżeli

A

jest dowolnym podzbiorem pierścienia

R

, to przez $\langle A\rangle$ oznaczamy najmniejszy (w sensie zawierania się zbiorów) ideał pierścienia

R

zawierający zbiór

A

. Można udowodnić, że

$\langle A\rangle=\{r_1a_1+\ldots+r_na_n: r_i\in R, a_i\in A, n\in \mathbb N\}$

Definicja

m Z ∋ mk, ml

(mk)(ml)=m(kml)∈ Z

mk+ml=m(k+l)∈ mZ

W ciele (pierścieniu) liczb rzeczywistych istnieje podpierścień izomorficzny z ciałem (pierścieniem) liczb wymiernych.
Podobnie w pierścieniu liczb wymiernych istnieje podpierścień izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych.
Jeśli $d$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to $\mathbb Z\left[\sqrt d\right] = \{ a+b\sqrt{d} : a,b\in\mathbb Z \}$ jest podpierścieniem ciała liczb zespolonych.

W dowolnym pierścieniu zbiór $\{0\}$ jest ideałem, zwanym trywialnym.
Zbiór wszystkich elementów pierścienia $R$ jest ideałem w tym pierścieniu (zwanym niewłaściwym).
W pierścieniu $\mathbb Z$ liczb całkowitych przykładem ideału jest zbiór wszystkich liczb parzystych. Ideałem jest również zbiór wszystkich liczb podzielnych przez $9$ . Ogólniej, każdy ideał pierścienia $\mathbb Z$ jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez pewną liczbę naturalną $k$ . Zatem $\mathbb Z$ jest pierścieniem ideałów głównych. Ideał pierścienia $\mathbb Z$ jest pierwszy, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem liczb podzielnych przez pewną liczbę pierwszą.
Jedynymi ideałami dowolnego ciała są ideał trywialny (złożony z samego zera) i niewłaściwy (całe ciało).
Jeśli $f: R \to S$ jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro $\ker f$ jest ideałem w pierścieniu $R$ .
Zbiór elementów nieodwracalnych pierścienia $R$ tworzy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy $R$ zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny.