PD №1 - Skalary & Wektory

Romuald Tumash
Skalary & Wektory

Skalary


Skalar (łac. skcalaris - schodkowy) – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).

W podręcznikach z matematyki oraz na stronach matematycznych w internecie, skalar określa się jako element ciała, nad którym jest rozważana przestrzeń liniowa.Skalary są przeważnie liczbami rzeczywistymi albo zespolonymi  przez które można mnożyć wektory rozważanej przestrzeni.


Skalary posiadają wartość i niekiedy punkt przyłożenia.Nie mają kierunku i zwrotu w inności od wektorów.

Opisują wielkości bezkierunkowe - np. temperatura, masa, ładunek, gęstość, ciśnienie.

Dostępne operacje matematyczne skalarów:

Pierścień (Ring) - Jest to to samo co i skalar ( Pierścień ∈ Skalar).W rosyjskich podęcznikach z matematyki  pierścień (кольцо) dyfiniuje się tak:

Pierścień́ (również asocjatywny  pierścień) w ogólnej algebrze - struktura algebry, w której są określone operacje odwracalnego dodawania i mnożenia, za właściwościami podobne do odpowiednich operacji nad liczbami. Prostymi przykładami pierścieni  są liczby (całe, rzeczywiste, kompleksowe), funkcje, określone na zadanym mnóstwie. We wszystkich wypadkach jest mnóstwo, podobne do mnóstwa liczb w tym sensie, że jego elementy można składać i mnożyć, przy czym te operacje zachowują się przyrodniczym sposobem.

Krócej mówiąc, Pierścień  (asocjatywny  pierścień) - to mnóstwo R, na którym są zadane dwie operacje  binarne: + i x (nazywane dodawaniem i mnożeniem), z następnymi właściwościami, wykonywanymi dla dowolnych a, b, c ∈R:

1.a + b = b + a - komutatywność dodawania ; a + (b + c) = (a + b) + c - asocjatywność dodawania

2.(a x b) x c = a x (b x c) -  asocjatywność  mnożenia (mnożenie jest łączne) - dystrybutywność

Innymi słowami, (asocjatywny) Pierścień  - to uniwersalna algebra (R, +, x), taka że algebra (R, +) - grupa abelowa, i operacja x (mnożenie) dystrybutywna z lewa i z prawa stosunkowo + (dodawanie).

Wektory

Szkolne pojęcie wektora: Wektorem nazywa się skierowany odcinek, dla którego jest wskazany jego początek i koniec:

W tym wypadku początkiem odcinka jest punkt A, końcem odcinka - punkt B. Sam wektor jest oznaczony przez AB(strzałka nad). Kierunek ma istotne znaczenie, jeśli przestawić strzałkę do innego końca odcinka, to wyjdzie wektor BA, i to już absolutnie inny wektor.Pojęcie wektora wygodnie utożsamiać z ruchem fizycznego ciała : zgodzicie się, zajść do drzwi uniwersytetu czy wyjść z drzwi uniwersytetu - to absolutnie różne rzeczy.

Każda wielkość fizyczna będąca wektorem ma cztery cechy:

- wartość - liczba jednostek, np. 5 m/s; graficznie jest to długość odcinka symbolizującego wektor.
- kierunek - położenie linii prostej, na której znajduje się wektor
- zwrot - strona, w którą wektor jest zwrócony; graficznie: strzałka na odpowiednim końcu wektora
- punkt przyłożenia - punkt początkowy wektora.

 Dostępne operacje matematyczne wektorów: 

Krótkie podsumowanie:

Czym różni się wektor od skalara?

Wektorową wielkością, czyli wektorem, nazywa się każda wielkość, co ma kierunek, wartość oraz zwrot.

Skalarną wielkością, czyli skalarem, nazywa się wielkość, co nie ma kierunku lecz ma tylko wartość.

Skalary sa ważniejsze niż wektory, ponieważ bez skalara nie byłoby wektora.