PD №2 - Przykłady pierścieni

Pierścienie

Def. 1. Algebrę (P, +P , ·P ) nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:

• (P, +P ) jest grupą przemienną,

• działanie ·P jest łączne,

• działanie ·P jest rozdzielne względem +P .

Jeśli działanie ·P jest przemienne, to P nazywamy pierścieniem przemiennym.

Jeżeli ·P posiada element neutralny, to nazywamy go jedynką, a P jest pierścieniem

z jedynką.

Przykłady pierścieni:

• (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·);

• (Zn, +n, ·n) – pierścień klas reszt modulo n;

• (Mn, +, ·) – pierścień macierzy kwadratowych rzędu n z dodawaniem i mnożeniem

macierzy;

• (P X, +, ·) – pierścień funkcji f : X → P, gdzie X 6= ∅, P – pierścień;

• ({0}, +, ·) – pierścień zerowy (0 = 1).

Def. 2. Niech (P, +P , ·P ), (S, +S, ·S) – pierścienie, wtedy zbiór P × Z z działaniami:

(p1, s1) + (p2, s2) = (p1 +p p2, s1 +s s2) oraz (p1, s1) · (p2, s2) = (p1 ·p p2, s1 ·s s2)

jest pierścieniem. Nazywamy go iloczynem prostym (sumą prostą) pierścieni P i S.

Def. 4. Pierścień przemienny nie posiadający dzielników zera nazywamy pierścieniem

całkowitym lub dziedziną całkowitości.


Pierścienie liczbowe. (Z, +, ·),(Q, +, ·),(R, +, ·),(C, +, ·) są przykładami pierścieni przemiennych
z jedynką. (N, +, ·) nie jest pierścieniem. Ponadto (Q, +, ·),(R, +, ·),(C, +, ·) są ciałami, zaś
(Z, +, ·) nie jest.

Pierścienie funkcji. Niech (R, +R, ·R) będzie pierścieniem, niech X '= ∅. W rodzinie funkcji
RX = {f : X → R : f jest funkcją}44
definiujemy działania
(f + g)(x) = f(x) +R g(x) oraz (f · g)(x) = f(x) ·R g(x).
(RX , +, ·) jest pierścieniem, który jest przemienny, gdy R jest przemienny.