PD №7 - Dwoistość=Dualność. Dual R-module and dual (sprzężona) R-space.

Dwa rodzaje wektorów.
Dwoistość - To znaczy gdy jedno nie istnieje bez drugiego (Bez wody nie ma ryb).Naprzyklad jak wektory i formy.Dla nich istnieje ewaluacja, która nadaje im wartość skalarną. 
Przyklad ewaluacji: [trawa, czlowiek] ----> ewaluacja to koszenie trawy ----> siano

B. Podprzestrzeń - to podzbiór danej przestrzeni, która sama ma tę samą co ona (przestrzeń) strukturą lub własności.

ker α={v∈V, αv=0∈R}

     ker α=0wektor

     ker α= podprzestrzeń 1-wymiarowa

      i, gdy αv = 0 i αu = 0 to wtedy α(v + u) = 0, to jest grzbiet formy.

C. Gdy αv = 0 i βv = 0, wtedy (α + β)v = 0 to oznacza, że ker v jest podprzestrzenią form.

D. 

Graficzne dodawanie form:

E.

1.  g₁v=(i⊗i+j⊗j)(4i+3j)=i(4i+3j)i+j(4i+3j)j=4i+3j                                                                          |v|²=(g₁v)v=(4i+3j)(4i+3j)=16+0+0+9=25
2.  g₂v=(i⊗j+j⊗i)(4i+3j)=i(4i+3j)j+j(4i+3j)i=4j+3i                                                                          |v|²=(g₂v)v=(4j+3i)(4i+3j)=0+12+12+0=24

(g1) lepiej