Baza (przestrzeń liniowa)
Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony, niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.
A.
Dane są dwie bazy w przestrzeni wektorowej dwu-wymiarowej:
1. {e1,e2};
2. {f1≡e1+e2, f2≡ e1-e2}. Wyznaczyć wektor v w bazie {f1, f2}
v=2e1+3e2≈
|
2
|
3
|
2
|
≈x·[f1]+ y·[f2]
|
3
|
v = x·[e1+e2]+y·[ e1-e2]
B.
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru mxn, gdzie m, n Î N nazywamy tablicę prostokątną m × n liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach:
Rodzaje macierzy:
*Macierz kwadratowa stopnia n
*Macierz diagonalna stopnia n
*Macierz jednostkowa stopnia n
*Wektor kolumnowy
*Wektor wierszowy
*Macierzą dolnotrójkątną
*Macierz zerowa
Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.
Macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi[a]. Same układy pojawiają się wprost podczas algebraizacji zagadnień geometrycznych (równania linioweparametryzujące punkty, proste, płaszczyzny itd.). Wyrosłym na tym gruncie, podstawowym przeznaczeniem macierzy jest jednak sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń algebry liniowej, a więc przede wszystkim opisuprzekształceń liniowych między dwoma przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem(skończeniewymiarowych, z ustalonymi bazami), czy form dwuliniowych na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą). Nieomalże wszystkie inne zastosowania wynikają z tych interpretacji − macierz Jacobiego, macierz Hessego, czy gradient obecne w analizie wielowymiarowej to macierze pochodnych (przedstawiane w ustalonych bazach, zwykle standardowych); podobnie ma się rzecz z wieloma możliwościami rozkładu macierzyna iloczyn macierzy o ustalonych własnościach − odpowiadają one złożeniom odpowiednich przekształceń. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań (rozwijając w ten sposób dostępny aparat pojęciowy); samodzielny dział matematyki im poświęcony nazywa się teorią macierzy.
Macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi[a]. Same układy pojawiają się wprost podczas algebraizacji zagadnień geometrycznych (równania linioweparametryzujące punkty, proste, płaszczyzny itd.). Wyrosłym na tym gruncie, podstawowym przeznaczeniem macierzy jest jednak sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń algebry liniowej, a więc przede wszystkim opisuprzekształceń liniowych między dwoma przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem(skończeniewymiarowych, z ustalonymi bazami), czy form dwuliniowych na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą). Nieomalże wszystkie inne zastosowania wynikają z tych interpretacji − macierz Jacobiego, macierz Hessego, czy gradient obecne w analizie wielowymiarowej to macierze pochodnych (przedstawiane w ustalonych bazach, zwykle standardowych); podobnie ma się rzecz z wieloma możliwościami rozkładu macierzyna iloczyn macierzy o ustalonych własnościach − odpowiadają one złożeniom odpowiednich przekształceń. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań (rozwijając w ten sposób dostępny aparat pojęciowy); samodzielny dział matematyki im poświęcony nazywa się teorią macierzy.
C.Obliczanie.
A·A=A2=
|
3 -1
|
·
|
3 -1
|
=
|
3·3+(-1)·(-2) 3·(-1)+(-1)·4
|
-2 4
|
-2 4
|
-2·3+4·(-2) -2·(-1)+4·4
|
A·A=A2=
|
11 -7
|
-14 18
|
A2·A=
|
11 -7
|
·
|
3 -1
|
=
|
11·3+(-7)·(-2) 11·(-1)+(-7)·4
|
-14 18
|
-2 4
|
-14·3+18·(-2) -14·(-1)+18·4
|
A2·A=
|
47 -39
|
-78 86
|
A·A2=
|
3 -1
|
·
|
11 -7
|
=
|
3·11+(-1)·(-14) 3·(-7)+(-1)·18
|
-2 4
|
-14 18
|
-2·11+4·(-14) -2·(-7)+4·18
|
A·A2=
|
47 -39
|
-78 86
|
A2·A= A·A2=A3
Комментариев нет:
Отправить комментарий