Romuald Tumash - Algebra (PD): PD №6 - Przestrzeń liniowa/wektorowa. Dodawanie i tenzorowe mnożenie przestrzeni wektorowych.

host

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Morfizmy przestrzeni liniowych MOZNO dodawac zawsze!

6 A.

Niech a,b,c ϵ R, gdzie R-zbiór liczb rzeczywistych oraz jest pierścieniem przemiennym.
a·(b+c)=a·b+a·c ϵ R. Endo-morfizm jest odwzorowanie na siebie. Tutaj a,b,c są w pierścieniu R, oraz otrzymany wynik również jest w tym samym pierścieniu. Zatem dystrybutywność w pierścieniu skalarów jest endomorfizmem grupy addytywnej pierścienia.

6 B.

dimz2Z2=1

dimz2(Z2 + Z2)=dimz2Z2 + dimz2Z2=1 + 1=2

dimz2(Z2 x Z2)=dimz2Z2 x dimz2Z2=1 x 1=1

6 C.

1. Morfizmy pierścieni nie można dodawać.

Weźmy dwa dowolne morfizmy pierścieni f i h:

f(r₁·r₂)=(fr₁)·(fr₂)

h(r₁·r₂)=(hr₁)·(hr₂)

(f+h)( r₁·r₂)≠[(f+h)r₁]·[(f+h)r₂]

f (r₁r₂)+ h (r₁r₂)≠(fr₁+hr₁)·(fr₂+hr₂)

(fr₁)·(fr₂)+ (hr₁)·(hr₂) ≠(fr₁+hr₁)·(fr₂+hr₂)

Nie ma równości!

2. Morfizmy przestrzeni/modułów można dodawać.

Weźmy dwa dowolne morfizmy przestrzeni f i h, gdzie r-to skalar, a v-to wektor:

f(r·v)=r·(fv)

h(r·v)=r·(hv)

(f+h)( r·v)=r·(f+h)(v)

f (r·v)+ h (r·v)= r·(fv+hv)

r·(fv)+ r·(hv)= r·(fv+hv)

r·(fv+hv)= r·(fv+hv)

Jest równość!

6 D.

Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego.Rozumowanie Galileusza wespół z koncepcją absolutnego czasu, płynącego tak samo dla wszystkich obserwatorów, prowadzi do transformacji, która pozwala przeliczyć te same obserwacje dla różnych układów odniesienia. Transformacja Galileusza prowadzi do wniosku, że prędkości postrzegane przez różnych obserwatorów nie muszą być takie same, ale niezmienne pozostają odległości między punktami i odstępy czasu pomiędzy wydarzeniami.

Szczególna teoria względności

Transformacja ta wydaje się bardzo naturalna, lecz jest niezgodna z równaniami Maxwella, co przejawia się w zmianie wartości prędkości światła przy zmianie układu odniesienia. Na przykład jeśli światło według obserwatora O porusza się wzdłuż osi OX w kierunku dodatnim tej osi z prędkością c, to według obserwatora O' ma ono prędkość c - v. Ponieważ doświadczalne poszukiwania takiej zmiany zakończyły się fiaskiem (doświadczenie Michelsona-Morleya), należy przyjąć, że istnieje sprzeczność pomiędzy doświadczeniem z dziedziny elektromagnetyzmu a stosowaniem transformacji Galileusza.

Rozwiązaniem tego problemu była sformułowana przez Alberta Einsteina szczególna teoria względności, która postuluje zmianę praw transformacyjnych dla dużych prędkości układów odniesienia. W teorii tej wykorzystywane są transformacje Lorentza. Poza światem cząstek subatomowych czy prędkości porównywalnych do prędkości światła transformacja Galileusza jest wystarczającym przybliżeniem ogólniejszej teorii – szczególnej teorii względności. W codziennym życiu nie mamy możliwości zaobserwowania jej efektów ponieważ niemożliwe jest obserwowanie osiągnięcia prędkości bliskich prędkości światła dla obiektów makroskopowych (samochód, samolot, przedmioty codziennego użytku).

6 E.

Tensor, wielkość tensorowa, obiekt geometryczny – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora.

Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.